化圆为方

化圆为方是古希腊数学里尺规作图领域当中的命题，和三等分角、倍立方问题被并列为尺规作图三大难题。其问题为：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为



π


{\displaystyle \pi }

的线段。
进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家费迪南德·冯·林德曼证明了



π


{\displaystyle \pi }

为超越数，因此也证实该问题仅用尺规是无法完成的。
如果放宽尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的问题是可行的。如借助西皮阿斯的割圆曲线，阿基米德螺线等。

== 背景简介 ==

=== 尺规作图法 ===

在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是：

直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性后，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法：

通过两个已知点，作一直线。
已知圆心和半径，作一个圆。
若两已知直线相交，确定其交点。
若已知直线和一已知圆相交，确定其交点。
若两已知圆相交，确定其交点。
尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。

=== 问题叙述 ===
化圆为方问题的完整叙述是：

如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度





π




{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}

倍的线段。

== 不可能性的证明 ==

=== 圆周率的超越性 ===
化圆为方问题是指已知单位长度1…