对称

对称（chèn）是几何形状、系统、方程以及其他实际上或概念上之客体的一种特征－典型地，物件的一半为其另一半的镜射。
在数理上，如果称一个几何图形或物体为对称的话，即表示它是变形的不变量，而对称一词亦包含在此定义之中。若两个物体称为互相对称时，即表示其中一者的形状经几何分割后，在不变更整体形状的情况下，可以将分割片段重组为另一者，且反之亦然。
对称亦可在人类与其他动物等生物体中发现（见如下之生物内的对称）。在二维几何中，较有趣味的几种主要的对称为相对于基本之欧几里得空间等距的：平移、旋转、镜射及滑移镜射。

== 对称的数学模型 ==
于一集合X内的所有物件上，所考量的所有对称运算都可以模拟成一个群作用a : G × X → X，其在G内的g及在X内的x所映射出的值可以写成g·x。若存在某些g使得g·x = y，则称x及y为相互对称的。对于任一个物件x，会有g·x = x的运算g可以组成一个群，其称为此物件的对称群，为G之子群。若x的对称群为当然群，则x称为不对称的，不然即称为对称的。一普通的例子为，设G为一作用在一群函数x: V → W上的双射g: V → V所组成的群，其作用为(gx)(v)=x(g−1(v))(即封闭在群作用下之此一函数的限制集合)。因此，空间之双射所组成的群会导致一在其空间内的「物件」上之群作用。x的对称群包含有所有可使所有V内的v，x(v)=x(g(v))的g。G为全空间都一致的物件之对称群。某些G的子群可能不会为任何一个物件的对称群。例如，若一包含有于V内可使得g(v)=w的v和w，则只会有常数函数x的对称群会包含此群。但无论如何，常数函数的对称群即为G本身。
在向量场的一修正版本内，可以有(gx)(v)=h(g,x(g−1(v)))，其中h的作用为根据g内所做的旋转及反转，旋转任何一个于x内的向量及伪向量，及反转任一向量（但无伪向量），详述请见物理中的对称。x的对称群包含有所有可使所有V内的v，x(v)=h(g,x(g(v)))的g。在此一例子中，一常数函数的对称群可能会是G的纯子群：一常数向量只对绕其方向之轴的旋转有旋转对称，及只有当其为零时才有反转对称。
一般对于在欧几里得空间内对称的观念里，G为欧几里得群E(n)，其为V为欧几里得空间之等距同构的群。一物件的旋转群为对称群若G被侷限在direct isometries的群E+(n)之中。(更广义的，请见下一子节)物件可以被模拟成一个函数x，其值为如颜色、密度、化学组成等性质之选择。依据不同的选择，可以只考量点的集合之对称(x只是位置v的布林函数)，或是另一个极端地，右手与左手的所有构造之对称。
对于一给定的对称群，其为物件的部份性质，但其却完整地定义了整个物件。根据其对称性，考虑有着相同性质的点等价，其等价类为空间本身上的群作用之轨道。如此只需要以每一个轨道上的一点中x的值来定义整个物件…