集论

集合论（英语：set theory）或称集论，是研究集合（由一堆抽象对象构成的整体）的数学理论，包含集合和元素（或称为成员）、关系等最基本数学概念。在大多数现代数学的公式化中，都是在集合论的语言下谈论各种数学对象。集合论、命题逻辑与谓词逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的「集合」与「集合成员」等术语来形式化地建构数学物件。
现代集合论的研究是在1870年代由俄国数学家康托尔及德国数学家理察·戴德金的朴素集合论开始。在朴素集合论中，集合是当做一堆物件构成的整体之类的自证概念，没有有关集合的形式化定义。在发现朴素集合论会产生一些悖论后，二十世纪初期提出了许多公理化集合论，其中最着名的是包括选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论，简称ZFC。公理化集合论不直接定义集合和集合成员，而是先规范可以描述其性质的一些公理。
集合论常被视为数学基础之一，特别是 ZFC 集合论。除了其基础的作用外，集合论也是数学理论中的一部份，当代的集合论研究有许多离散的主题，从实数线的结构到大基数的一致性等。

== 历史 ==

现代集合论的研究开始于1870年代由康托尔及理察·戴德金提出的朴素集合论。一般数学主题的出现及发展都是由多名研究者的互动中产生的，但朴素集合论的开始是1874年康托尔的一篇论文《On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers》。而在稍早的1873年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了，这一天也因此成为了集合论的诞生日。
从西元前五世纪时，数学家们就在研究有关无穷的性质，最早期是希腊数学家芝诺和印度数学家，十九世纪时伯纳德·波尔查诺在此领域有相当的进展。现在对于无限的了解是从1867–71年康托尔在数论上的研究开始，1872年康托尔和理查德·戴德金的一次聚会影响了康托尔的理念，最后产生了1874年的论文。
当时的数学家对康托尔的研究有二种完全不同的反应：卡尔·魏尔斯特拉斯及理查德·戴德金支持康托尔的研究，而像利奥波德·克罗内克等结构主义者则持反对态度。康托尔的研究后来广为流传，原因是当中概念的实效性，例如集合之间的双射，康托尔对于实数较整数多的证明，以及由幂集所产生「无穷的无穷」的概念，等等。这些概念最后成为1898年《克莱因的百科全书》中的《Mengenlehre》（集合论）条目。
在1900年左右许多数学家发现朴素集合论会产生一些矛盾的情形，称为二律背反或是悖论，伯特兰·罗素和恩斯特·策梅洛均发现了最简单的悖论，也就是现在所称的罗素悖论：考虑「由所有不包含集合自身的集合所构成的集合」，记之为 S。不管假设 S 是或不是 S 自身的元素，按照 S 的定义都会导致矛盾。罗素悖论也造成了第三次数学危机。
1899年时康托尔自己也提出一个会产生悖论的问题「一个由所有集合形成的集合…