Closure

Closure

原名: Closure | 语言: 英语
2025 惊悚 0分钟 0.0

导演

威尔·韦尼克

编剧

Jason Rosen

详细剧情

闭包(英语:Closure)在拓扑学中是指,一个拓扑空间里,子集S的闭包由S 的所有点及S 的极限点所组成的一个集合;直观上来说,即为所有「靠近」S 的点所组成的集合。在子集S 的闭包内的点称为S 的闭包点。闭包的概念在许多方面能与内部的概念相对比。

== 定义 ==

=== 闭包点 ===
设S 为欧几里德空间内的一个子集,若所有以x 为中心的开球都包含S 内的一点(这个点也可以是x 自身),即称x 为S 的闭包点。
上述定义可以推广到度量空间X 的任意子集S之上。具体地说,设X 为具度量d 的度量空间,S为X 内的子集,若对所有的r > 0,皆存在一个S 内的点y,使得 d(x, y) < r(同样地,x = y 也可 ),即称x 为S 的闭包点。另外,也可以如下定义:若 d(x, S) := inf{d(x, s) : s in S} = 0,即称x 为S的闭包点。上述两种定义的写法是同样的意思。
最后,闭包点的定义也可以推广到拓扑空间,只需要用邻域替代“开球”即可。设S 为拓扑空间X 的子集,则x 称为S 的闭包点,若所有x 邻域都包含S 内的一点。注意,这个定义并不要求邻域一定要为开集。

=== 极限点 ===
闭包点的定义非常接近极限点的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在极限点的定义中,点 x 的邻域必须包含“ 不是 x 自身的”这个集合的点。
因此,所有极限点都是闭包点,但不是所有的闭包点都是极限点。不是极限点的闭包点就是孤点。也就是说,点 x 是孤点,若它是 S 的元素,且存在 x 的邻域,该邻域中除了 x 没有其他的点属于 S。
对给定的集合 S 和点 x,x 是 S 的闭包点,当且仅当 x 属于 S,或 x 是 S 的极限点。

=== 集合的闭包 ===
集合S 的闭包是指由所有S 的闭包点所组成的集合。S 的闭包写作 cl(S),Cl(S) 或 S−。集合的闭包具有如下性质:

cl(S) 是 S 的闭父集。
cl(S) 是所有包含 S 的闭集的交集。
cl(S) 是包含 S 的最小的闭集。
集合 S 是闭集,当且仅当 S = cl(S)。
若 S 是 T 的子集,则 cl(S) 是 cl(T) 的子集。
若 A 是闭集,则 A 包含 S 当且仅当 A 包含 cl(S)。
上述第二或第三条性质可作为拓扑闭包的定义。
在第一可数空间(如度量空间)中,cl(S) 是所有点的收敛序列的所有极限。
注意,若将“闭包”、“交集”、“包含”、“最小”、“闭”等词汇相应替换成“内部”、“并集”、“包含于”、“最大”、“开”,上述性质仍然成立。更多信息请参看下面的“闭包算子”。

=== 其他性质 ===
集合的交集的闭包是集合的闭包的交集的子集。
有限多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等;零个集合的并集为空集,所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况…

主要演员

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